Лабораторная работа: Интерполяция функций 2

Выполнил: ст. гр. ПМ 11 Крамарев Д. В.

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Чехонин К.А.

Хабаровск 2004

Задание.

1) Построить интерполяционный многочлен Ньютона. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значения в точке х=1.25.

xi 1 1.5 2 2.5 3 3.5
yi 0.5 2.2 2 1.8 0.5 2.25

2) Построить интерполяционный многочлен Лагранжа. Начертить график и отметить на нем узлы интерполяции. Вычислить значение в точке х=1.2.

xi 0 0.25 1.25 2.125 3.25
yi 5.0 4.6 5.7 5.017 4.333

Возможно вы искали - Реферат: Задачи линейной алгебры

3)Выполнить интерполяцию сплайнами третьей степени. Построить график и отметить на нем узлы интерполяции.

xi 7 9 13
yi 2 -2 3

Постановка задачи интерполяция.

Пусть известные значения функции образуют следующую таблицу:

x0 x1 x2 ... Xn-1 xn
y0 y1 y2 ... yn-1 yn

При этом требуется получить значение функции f в точке x, принадлежащей
отрезку [x0 ..xn ] но не совпадающей ни с одним значением xi .Часто при этом не известно аналитическое выражение функции f(x), или оно не пригодно для вычислений.

В этих случаях используется прием построения приближающей функции F(x), которая очень близка к f(x) и совпадает с ней в точках x0 , x1 , x2 ,... xn . При этом нахождение приближенной функции называется интерполяцией, а точки x0 ,x1 ,x2 ,...xn - узлами интерполяции. Обычно интерполирующую ищут в виде полинома n степени:

Pn (x)=a0 xn +a1 xn-1 +a2 xn-2 +...+an-1 x+an

Похожий материал - Реферат: Метод конструирования задач

Для каждого набора точек имеется только один интерполяционный многочлен, степени не больше n. Однозначно определенный многочлен может быть представлен в различных видах. Рассмотрим интерполяционный многочлен Ньютона и Лагранжа.

Интерполяционная формула Лагранжа.

Формула Лагранжа является наиболее общей, может применяться к таким узлам интерполяции, что расстояние между соседними узлами не постоянная величина.

Построим интерполяционный полином Ln (x) степени не больше n, и для которого выполняются условия Ln (xi )=yi . Запишем его в виде суммы:

Ln (x)=l0 (x)+ l1 (x)+ l2 (x)+...+ ln (x),(1)

где lk ( xi )= yi , если i=k, и lk ( xi )= 0, если i≠k;

Очень интересно - Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Тогда многочлен lk ( x) имеет следующий вид:

lk (x)= (2)

Подставим (2) в (1) и перепишем Ln ( x) в виде:

Если функция f(x), подлежащая интерполяции, дифференцируема больше чем n+1 раз, то погрешность интерполяции оценивается следующим образом:

где0<θ <1 (3)


Вам будет интересно - Реферат: Магические квадраты

Интерполяционная формула Ньютона.

Построение интерполяционного многочлена в форме Ньютона применяется главным образом когда разность xi+1 -xi =h постоянна для всех значений x=0..n-1.

Конечная разность k-го порядка:

Δyi =yi+1 -yi

Δ2 yi = Δyi+1 - Δyi =yi+2 -2yi+1 +yi

Похожий материал - Реферат: Определители

………………………………

Δk yi =yi+k -kyi+1-k +k(k-1)/2!*yi+k-2 +...+(-1)k yi

Будем искать интерполяционный многочлен в виде:

Pn(x)=a0 +a1 (x-x0 )+a2 (x-x0 )(x-x1 )+...+an (x-x0 )(x-x1 )...(x-xn-1 )

К-во Просмотров: 140
Бесплатно скачать Лабораторная работа: Интерполяция функций 2