Доклад: Общий аналитический метод решения алгебраических уравнений четвертой степени

Уравнение:

X4 + TX2 + PX + Q = 0 (1)

имеет четыре корня X1 , X2 , X3 , X4 .

Известно, что:

X1 + X2 + X3 + X4 = 0, (2)
X1 X2 + X1 X3 + X1 X4 + X2 X3 + X2 X4 + X3 X4 = T, (3)
X1 X2 X3 + X1 X2 X4 + X1 X3 X4 + X2 X3 X4 = –P, (4)
X1 X2 X3 X4 = Q. (5)

Путем простых алгебраических преобразований из соотношений (2), (3), (4) получаем:

X1 X2 + X3 X4 = T + (X1 + X2 )2 , (6)
(X1 + X2 )(X1 X2 – X3 X4 ) = P. (7)

Составляем квадратное уравнение:

Y2 – (X1 X2 +X3 X4 )Y + X1 X2 X3 X4 = 0, (8)

Возможно вы искали - Реферат: Магические квадраты

где Y1 = X1 X2 , Y2 = X3 X4 .

Используя ф-лы (5), (6), (7) и обозначая A = (X1 + X2 )2 перепишем уравнение (8) в виде:

Y2 – (T + A)Y + Q = 0.

Решая уравнение (8) получаем:

X1 X2 = 1 /2 (T + A2 + ([T + А]2 – 4Q)1/2 ), (9)
X3 X4 = 1 /2 (T + A2 – ([T + A]2 – 4Q)1/2 ). (10)

Таким образом, используя ф-лы (9), (10) получаем:

X1 X2 – X3 X4 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . (11)

Похожий материал - Реферат: Определители

Учитывая, что A1/2 = X1 + X2 перепишем формулу (7) в виде:

X1 X2 – X3 X4 = Р/А1/2 . (12)

Подставляя в ф-лу (12) ф-лу (11) получаем

P/A1/2 = ([T + A]2 – 4Q)1/2 . (13)

Путем простых алгебраических преобразований из ф-лы (13) получаем кубическое уравнение относительно переменной А:

A3 + 2TA2 + (T2 – 4Q)A – P2 = 0. (14)

Таким образом решение уравнение четвертой степени (1) сводится к решению кубического уравнения (13), где A=(X1 +X2 )2 и двух квадратных уравнений:

X2 – (X1 + X2 )X + X1 X2 = 0, (15)
X2 – (X3 + X4 )X + X3 X4 = 0. (16)

Используя ф-лы (9), (10) и учитывая, что X1 + X2 = – (X3 +X4 ) перепишем ф-лы (15), (16) в виде:

X2 – A1/2 X + 1 /2 (T+A + ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0, (17)
X2 + A1/2 X + 1 /2 (T+A – ([T + A]2 – 4Q)1/2 ) = 0. (18)

Очень интересно - Доклад: О необычности путей развития математики

Полное уравнение четвертой степени X4 + KX3 + TX2 + PX + Q = 0 сводится уравнению (1) путем замены переменной X на переменную Y = X + K/4.

К-во Просмотров: 51