Статья: К решению теоремы Ферма

Более 350 лет профессиональные математики и любители пытаются доказать теорему Ферма. Однако до настоящнго времени нет общепризнанного доказательства. Тем не менее, интерес к загадочной теореме не угасает и до настоящего времени остается высоким.

В настоящей статье предлагается к рассмотрению простой метод доказательства, основанный на разделении числового множества yn + xn = zn (1)

на два подмножества, из которых первое содержит только те x и y для всех показателей степени n , которые могут содержатьрешения уравнения (1) в целых числах x , y , z , а второе подмножество содержит только нецелые решения.

Отделить друг от друга упомянутые подмножества представляется возможным путем разложения уравнения (1) на составные части по биному Ньютона и составления на их основе уравнения с учетом принятых ограничений для поиска целых решений. Для этого представим уравнение (1) в виде, удобном для разложения :

(x - a)n + xn –(x+b)n = 0 (2)

Возможно вы искали - Реферат: Алгебра логики

Здесь: x – переменное число, а < x целое число; n целое число, показатель степени; b целое или нецелое число, в зависимости от соотношения x , a , и n .

Сущность доказательства заключается в определении подходящих значений x,y,zдля удовлетворения уравнений ( 1 ) и ( 2 ) методом последовательных приближений. Задача решается применительно к 450 сектору I квадранта в плоскостных координатах (x,y), т.к. из-за недостатка информации координата z равна 0. Полученные результаты могут быть распространены на остальные 7 секторов плоскости(x,y), определяя тем самым область распространения условий теоремы Ферма.

Итак, применяя формулу бинома Ньютона к выражению (2), получим:

(x–a)n + xn = 2xn - nxn-1 a + cn2 xn-2 a2 - cn3 xn-3 a3 ...... + an

(x+b)n = xn +nxn-1 b + cn2 xn-2 b2 + cn3 xn-3 b3 .......+bn

Похожий материал - Реферат: Условия образования шаровой молнии

D = xn - nxn-1 (a+b) + cn2 xn-2 (a2 -b2 ) - cn3 xn-3 (a3 +b3 )..+(an+ bn ) =0

(3)

Назовем выражение (3) основным уравнением в поисках целых решений уравнения (2). Подходящие значения x , y =( x a ), z =( x + b ), удовлетворяющие уравнениям (1) и (2), будем искать при условии a = b =1. Обоснование принятых допущений (ограничений) изложено ниже. Полагая a = b , уравнение (3) преобразуем к виду:

xn - 2nxn-1 a - 2cn3 xn-3 a3 - 2cn5 xn-5 a5 - ... (an + an )=0 (4)

ОбозначимчерезP(a,n) = 2cn3 xn-3 a3 + 2cn5 xn-5 a5 +... ( an + an ) - добавку после первых двух членов уравнения (4). Тогда уравнение (4) примет вид:

xn - 2nxn-1 a - P(a,n) = 0

Очень интересно - Доклад: О возможности изменения гравитационного воздействия

Разделив все члены уравнения на xn -1 , получим выражение для искомого x

x=2 na + P ( a,n )/ xn -1 , гдеP(a,n)/xn-1 ³ 0 (5)

При a = b = 1 выражение (5) примет вид:

x=2n+P( 1 ,n)/xn-1 (6)

Подходящие значения y=x-1 и z=x+1 определяются через известный х. Из формул (5) и (6) становится ясным, что при n>2 согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) возможно только при учете добавки P (1 , n )/ xn -1 .

Вам будет интересно - Доклад: Число как сущее

Исходя из изложенного, целые числа х и у из теоремы Ферма следует однозначно отнести ко второму подмножествуyn + xn = zn

Ниже, в таблице приведены результаты расчетов согласования для n=2,3,4 и 5.

n x y=x-1 z=x+1 xn yn xn + yn zn D %
2 4 3 5 16 9 25 25 -
3 6,055 5,055 7,055 221 129 350 350 -
4 8,125 7,125 9,125 4350 2540 6890 6890 -
5 10,200 9,200 11,200 107000 66000 173000 175000 1,25

На основании изложенного можно сделать следующие предварительные выводы:

1. Согласование левых и правых частей уравнений (1) и (2) невозможно без учета добавки P ( a , n )/ xn -1 .

2. Если уравнение yn + xn = zn с учетом добавки P ( a , n ) выразить в числовых отрезках и спроектировать на плоскость (х,у), то на ней при n>2 образуется остроугольный треугольник, все стороны которого при a=b=1 выражены нецелыми числами: х=2n+P(1, n )/хn-1 ; у=2n-1+ P(1, n )/хn-1 ; z=2n+1+ P(1, n )/хn-1 , что находит подтверждение при следующем рассмотрении добавки P(1, n )/хn-1 .

Похожий материал - Доклад: Исследование электрической цепи переменного тока при последовательном соединении

Для выяснения этого вопроса представим ее после сокращений в следующем виде

P(1,n)/ х n-1 = 2cn3 /x2 + 2cn5 /x4 +2cn7 /x6 ... ( 1 + 1 ) / xn -1

В числителе каждого члена разложения представлены сочетанияcnk , распределение которых симметрично, наподобие гаусовскому, относительно центра ( n+1)/2 . В знаменателе функция x 2 , возрастающая с каждым членом по квадратичному закону.

Первый член разложения, из-за малости x 2 имеет наибольшую величину и может выражаться целым числом со значащими цифрами после запятой (для n=15 – 1,1…; для n=25 – 1,8…; и т.п.). Последний член имеет наименьшую величину из-за большого знаменателяxn -1 (для n=3 – 2/62 ; для n=15– порядка 2/3014 ; для n=25– 2/5024 и т.п.)

Первая половина разложения по сумме значительно превышает вторую за счет резкого увеличения числителей. Все члены разложения второй половины меньше 1 за счет уменьшения числителей и дальнейшего возрастания знаменателей, и интенсовно уменьшаются по мере удаления от центра. В результате общая сумма разложения для n>14 (для n<=14 добавка <1) всегда будет определяться целыми числами со значащими цифрами после запятой, т.е. все эти числа будут нецелыми, что свидетельствует о достоверности и доказуемости теоремы Ферма.

К-во Просмотров: 115